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1A 有理数与实数 · 思维导图页
用法：先看图把全章装进脑子 → 遮住答案做题（每题标了考哪个节点）→ 考前只看速查区和掌握格。做题前先提醒一句：读着顺不算学会——图看得再顺，也得遮住答案把题做完才算数。
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同源题库（21 题，答案折叠；标签＝考图里哪个节点）
1. 把"零下 8 度""赚 40 元""亏 40 元""海拔 0 米"记成数；0 是正数还是负数？负数从哪来
答案
−8、+40、−40、0；0 既不是正数也不是负数，它是分界点。
2. 画一条数轴，标出 −2.5、−1、0、1.5、3，并用"<"连接。数轴
答案
−2.5 < −1 < 0 < 1.5 < 3。三要素（原点、正方向、单位长度）缺一就算画错。
3. 比较 −5 和 −2，并说出你凭什么这么判。数轴／两把尺子
答案
−5 < −2。凭"谁在数轴上右边"：−2 在 −5 右边。不是凭"5 比 2 大"。
4. ① (−4)+9 ② (−6)+(−7) ③ 3−11 ④ 0−(−5)四则
答案
① 5 ② −13 ③ −8 ④ 5（0−(−5) = 0+5，先改写）
5. ① (−3)×6 ② (−3)×(−6) ③ (−18)÷9 ④ (−18)÷(−9)四则
答案
① −18 ② 18 ③ −2 ④ 2。同号得正、异号得负。
6. ① |−12| ② |+7| ③ 若 |a| = 6，a = ?两把尺子
答案
① 12 ② 7 ③ a = 6 或 −6——离原点 6 格的点有两个，漏负根是最常见的错。
7. ① 2⁴ ② (−2)⁴ ③ −2⁴ ④ (1/2)⁴乘方
答案
① 16 ② 16 ③ −16（负号在括号外！） ④ 1/16
8. 用科学记数法写：① 4600000 ② 1413000000乘方与大数
答案
① 4.6×10⁶ ② 1.413×10⁹。a 必须 1 ≤ a < 10，写成 46×10⁵ 不给分。
9. ① 49 的平方根 ② √49 ③ −27 的立方根 ④ 0.064 的立方根（先验一下 0.4³）开方
答案
① ±7 ② 7 ③ −3 ④ 0.4，因为 0.4³ = 0.064。①②一字之差，答案差一倍。
10. |−3| + (−2)³ − √16三件套组装
答案
3 + (−8) − 4 = −9。三件套（绝对值、乘方、开方）各算对，最后符号别乱。
11. 用分配律一步步推出 (−3)×(−2) = 6，不许直接引"负负得正"。四则·原理
答案
(−2)+2 = 0 → (−3)×[(−2)+2] = 0 → (−3)×(−2) + (−3)×2 = 0 → (−3)×(−2) + (−6) = 0 → (−3)×(−2) = 6。
12. 为什么负数没有平方根，却有立方根？开方·奇偶
答案
平方是掉两次头（偶数次），偶数次永远回到正的一边，到不了负数；立方是掉三次头（奇数次），奇数次还停在对面，所以负数照样能开立方。
13. √4 是无理数吗？"带根号的数都是无理数"错在哪？再举两个反例。实数家族
答案
√4 = 2，是有理数。错在拿"长相"当判据——要看算出来的结果能不能写成分数。反例：√9 = 3、√(1/4) = 1/2。
14. √30 在哪两个相邻整数之间？√8 呢？夹逼估算
答案
5² = 25 < 30 < 36 = 6²，所以 5 < √30 < 6；2² = 4 < 8 < 9 = 3²，所以 2 < √8 < 3。找两侧最近的完全平方数。
15. (−1)²⁰²⁶ + (−1)²⁰²⁷ − (−1)²⁰²⁸乘方·奇偶
答案
1 + (−1) − 1 = −1。只看指数奇偶，不用管它多大。
16. 已知 |a−2| + |b+3| = 0，求 a+b。非负杀器
答案
两个非负数相加为 0，只能每个都是 0：a = 2，b = −3，a+b = −1。
17. 比较 −8 与 −0.8；绝对值在这题里帮了什么忙，又"骗"了谁？两把尺子
答案
−8 < −0.8。都负的时候看离 0 远近来比，远的更小（|−8| = 8 远）。"骗"的是只看数字大小的人：8 > 0.8，可加上负号整个反过来。
18. 用"先赚 3 元再亏 5 元"和"数轴走位"两种方式，解释"减去一个数 = 加上它的相反数"。四则
答案
生活版：3−5 = −2，与 3+(−5) = −2 是同一本账。数轴版：减 5 就是向左走 5 格，与"加上 −5"是同一个动作。
19. 用"掉头"解释 (−1)¹⁰⁰ 和 (−1)¹⁰¹ 分别是多少。乘方·奇偶
答案
100 次掉头是偶数次，回到原方向，得 +1；101 次是奇数次，还在对面，得 −1。
20. 一个水池，水位每分钟下降 3 厘米。3 分钟前，水位比现在高多少？把这道题写成一个乘法算式。四则·负负得正
答案
高 9 厘米。算式：(−3) × (−3) = +9。"下降"乘"之前"，两个反方向叠起来，结果反过来。
21. ① √2 落在哪两个整数之间？② 用夹逼法把它夹到一位小数。③ 1.414 是 √2 吗？实数家族
答案
① 1 < √2 < 2（1²=1 < 2 < 4=2²）。② 1.4² = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5²，所以 1.4 < √2 < 1.5。③ 1.414 是近似值，√2 本身写不完——它是那个"平方等于 2"的数。
考前速查
易混对照
| 容易混的 | 正确版 | 翻车版 |
|---|
| (−2)⁴ 与 −2⁴ | +16 与 −16（看负号圈没圈进括号） | 两个都写 16 |
| 平方根 vs 算术平方根 | 49 的平方根 = ±7；√49 = 7 | √49 答 ±7 |
| 负数比大小 | 离 0 越远越小（−8 < −0.8） | 按数字大小比 |
| 带根号 vs 无理数 | 看结果（√4 = 2 是有理数） | 见根号就归无理 |
| 减负数 | −5−(−8) = −5+8 = 3 | 半路丢号写成 −5−8 |
| 科学记数法 | 4.6×10⁶（1 ≤ a < 10） | 46×10⁵ |
| 0 的身份 | 既不是正数也不是负数；不能当除数 | 把 0 当正数，或写 a÷0 = 0 |
最易记错的六句话
① 负负得正是分配律逼出来的，不是口诀——被问为什么就写 (−3)×[(−2)+2] 那四步。
② 减一个数 = 加它的相反数，先改写再算，草稿上要留下改写那一行。
③ √ 只取正根；说"平方根"才要写 ±。
④ 负数比大小：不看数字大小，看谁在数轴上右边。
⑤ |a| 是"多远"，不是"去负号"——|a| = k 有两个答案。
⑥ 带根号不一定无理，先算出来再说。
掌握格（隔天自测：会＝不看材料讲得出来）
| 能力 | 判据 | 会 | 半会 | 不会 |
|---|
| 负数与大小 | 任给两个负数，能先画位置再判大小 | □ | □ | □ |
| 两把尺子 | 说清"比大小"和"绝对值"为什么顺序相反 | □ | □ | □ |
| 负负得正 | 不看材料写出分配律那四步 | □ | □ | □ |
| 四则符号 | 减法先改写；同号正异号负，一次不错 | □ | □ | □ |
| 乘方 | 看到含负号的幂，第一动作是圈负号 | □ | □ | □ |
| 科学记数法 | 写完自检 a 是不是只有一位整数 | □ | □ | □ |
| 平方根三兄弟 | 平方根／√／立方根三种问法各答对 | □ | □ | □ |
| 实数家族 | 给任意一个数，能判有理还是无理并说出理由 | □ | □ | □ |
卡住时回哪一节
| 你卡在 | 回讲义 |
|---|
| 为什么 −5 比 −2 小 | 第三节「掉头之后，前后就换了」 |
| 负负得正推不出来 | 第五节「走路、掉头、倒退」，配三连页 |
| (−2)⁴ 和 −2⁴ 分不清 | 第六节，括号那两句 |
| 平方根和 √ 混 | 第七节开头那张三行对照表 |
| 为什么 √2 不算有理数 | 第八节「想深一层」那五步 |