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0B 比例与字母 · 思维导图页
用法：先看图把全章装进脑子 → 遮住答案做题（每题标了考哪个节点）→ 考前只看速查区和掌握格。做题前先提醒一句：读着顺不算学会——比和字母每个词你都眼熟，眼熟不等于会。
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同源题库（22 题，答案折叠；标签＝考图里哪个节点）
1. 化简比：45:60同乘同除
答案
3:4（前后同除 15）。
2. 化简比：0.5:0.15同乘同除
答案
先同乘 100 去小数 → 50:15，再同除 5 → 10:3。第一步必须去掉小数。
3. ① 化简 12:18 ② 求 12:18 的比值化简 vs 比值
答案
① 2:3（结果还是比）。② 2/3（结果是一个数，约 0.667）。同一对数，问法不同，答案形态不同。
4. 化简比：3 米 : 50 厘米同类量
答案
先统一单位：3 米 = 300 厘米 → 300:50 → 6:1。直接写 3:50 是错的。
5. 解比例：3:x = 6:8比例式
答案
内项积 = 外项积：6x = 24，x = 4。验：3:4 与 6:8 化简后都是 3:4。
6. a:b = 3:4。① 若 a = 12，求 b；② 若 b = 20，求 a比例式
答案
① 3b = 12×4 = 48 → b = 16。② 4a = 3×20 = 60 → a = 15。两个都代回去验一下。
7. 柠檬水糖:水 = 2:5。冲 10 杯水要几勺糖？为什么"一样好喝"？什么没变
答案
4 勺。4:10 = 2:5，前后同乘 2，倍数关系没变，所以味道不变。答"×2"不够，要说清"倍数关系没变"。
8. 同一个配方，糖和水各加 2，味道会变吗？往哪个方向变？为什么"翻倍"就不变？同加会变
答案
会变，而且更甜。2:5 的比值是 0.4，4:7 的比值约 0.571，后者更大。翻倍是 4:10，前后同乘 2，关系没改；各加 2 是加减，关系改了。道理：加同一个数时，小的那个被放大得更多。
9. 比例尺 1:50000，图上两地相距 3 厘米，实际相距多少千米？比例式
答案
3 × 50000 = 150000 厘米 = 1500 米 = 1.5 千米。数值算完必须换单位。
10. 每支笔 3 元，总价与数量成什么关系？补全：数量 1、2、4、10 → 总价？正比
答案
3、6、12、30。正比——判据是总价÷数量 = 3 不变。只说"一起变大"没点到判据。
11. 面积固定为 12 平方厘米的长方形，长与宽成什么关系？把所有整数情况列全。反比
答案
(1,12)(2,6)(3,4)(4,3)(6,2)(12,1)。反比——长×宽 = 12 不变；长乘 2，宽就除以 2。
12. 一张饼分给若干人，人数与每人分到的量成什么关系？反比
答案
反比。人数 × 每人所得 = 一整张饼（不变）；人越多，每人越少。
13. 正方形的边长和面积是正比吗？都不是
答案
不是，也不是反比。边长 1→2 时面积 1→4，翻了四倍：既不是"也乘 2"，也不是"除以 2"。找不到不变的那个量，就是两样都不锁。
14. 把 A4 纸的长边折一半，尺寸变了但形状几乎没变。为什么？同乘同除
答案
因为 A 系列纸的长宽比被设计成 √2:1（约 1.414）。297÷210≈1.414，折完 210÷148.5≈1.414。注意：这不是"两边同除 2"——宽的 210 一个毫米都没动，只有长边减半。
15. 用字母表示："比 a 的 3 倍多 2 的数"代数式
答案
3a + 2。写成 3(a+2) 意思就变了（那是"a 与 2 的和的 3 倍"）。
16. v = s/t，s = 120 千米，t = 4 小时，求 v代数式
答案
v = 120 ÷ 4 = 30 千米/小时。速度本身就是一个比：路程比时间。
17. 长方形 a = 5、b = 3，求周长 C 和面积 S代数式
答案
C = 2(a+b) = 2×8 = 16；S = ab = 15。
18. n = 2 时 2n 和 n² 都是 4，那 n = 1/2 时呢？这说明什么？2n vs n²
答案
2n = 1，n² = 1/4，分开了。一个数相等推不出两个式子恒等；反过来，找到一个反例就足以说明它们不一样。
19. ① 2a + 3a = ? ② 2a × 3a = ?字母的语法
答案
① 5a（2 堆加 3 堆）。② 6a²（系数乘系数，a 乘 a）。加法和乘法是两条完全不同的路。
20. a = 4、b = 3，求 2(a + b)；再求 a²代入
答案
2(a+b) = 2×7 = 14（括号是一个整体，不能拆成 2×4+3）。a² = 4×4 = 16（乘自己，不是乘 2）。
21. 证明：三个连续自然数之和一定是 3 的倍数字母·证明
答案
设三数为 n、n+1、n+2；和 = n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)；3 乘整数，必是 3 的倍数。验 4+5+6=15 ✓，但验证不算证明。
22. 证明：偶数 + 偶数 = 偶数；再推一遍奇数 + 奇数 = ?字母·证明
答案
设 2n、2m，2n+2m = 2(n+m)，2 乘整数 → 偶数（用了分配律反过来）。奇数：设 2n+1、2m+1，(2n+1)+(2m+1) = 2n+2m+2 = 2(n+m+1) → 也是偶数。
考前速查
易混对照
| 容易混的 | 正确版 | 翻车版 |
|---|
| 比（倍）vs 差（减） | "是乙的 2 倍"＝比；"比乙多 2"＝差 | 两种说法换着用 |
| 化简比 vs 求比值 | 结果是 2:3 / 结果是 2/3 | 问化简答 0.667 |
| 同乘同除 vs 同加同减 | 乘除不变；加减一般会变（前后相等时例外） | 以为 12:18 = 13:19 |
| 正比 vs 反比 | 锁比值 / 锁乘积 | 靠"一起变大"判 |
| 2n vs n² | n+n / n×n | n=2 时都是 4 就当成一样 |
| a² vs 2a | a 乘自己 / a 加自己 | a=4 时都算成 8 |
| 2a + 3a vs 2a × 3a | 5a / 6a² | 乘法也写成 5a |
| 举例 vs 证明 | 字母推导管全部 | 试三个数就宣布证完 |
| 比的前后项 | 糖:水 ≠ 水:糖 | 顺序随手写 |
最易记错的六句话
① 比只在同乘同除时不变；同加同减一般会变，而且会朝数值小的那一边偏——柠檬水各加 2 反而更甜。
② 问"化简"给一个比，问"比值"给一个数。
③ 内项积等于外项积：两头相乘 = 中间相乘，先在式子上把两头圈出来。
④ 判正反比只问一句：里面哪个量不变？比值不变是正比，乘积不变是反比，都找不到就都不是。
⑤ 平方是自己乘自己，不是乘 2。看见右上角的 2，心里先念"乘自己"。
⑥ 举例再多也不算证明；推理里出现字母，才叫证。
掌握格（隔天自测：会＝不看材料讲得出来）
| 能力 | 判据 | 会 | 半会 | 不会 |
|---|
| 比的三张脸 | 能说出比、除法、分数是同一个东西 | □ | □ | □ |
| 同乘同除 | 能举一个"同加会变"的反例 | □ | □ | □ |
| 化简 vs 比值 | 同一对数两问答案不一样，能说清为什么 | □ | □ | □ |
| 比例式 | 能推出内项积＝外项积，并能解一个比例 | □ | □ | □ |
| 正反比 | 任给一对量，先说"谁不变"再判 | □ | □ | □ |
| 字母 | 能解释 a 为什么可以先后是任何数 | □ | □ | □ |
| 代数式 | 代入前会先圈括号；2n 与 n² 不再混 | □ | □ | □ |
| 证明 | 能独立复写"三连续自然数之和是 3 的倍数" | □ | □ | □ |
卡住时回哪一节
| 你卡在 | 回讲义 |
|---|
| 为什么翻倍不变味、各加 2 就变味 | 第一节末 + 第二节「什么时候味道不变」 |
| 内项外项到底怎么记 | 第三节「两个配方一样甜」开头那段位置说明 |
| 正比反比判不出来 | 第四、五节的两张表 + 「既不正比也不反比」 |
| 字母到底等于几 | 第六节「a 可以先后是任何数」那三段 |
| 偶数 2n 这个写法怎么来的 | 第八节「一行管住无穷」 |