负号，就是掉头
先问你三个问题。看起来它们八竿子打不着。
第一个。你已经会算 3 − 5 = −2 了，一点不觉得奇怪。可 (−2) × (−3) 为什么等于 +6？两个负数一乘，怎么就转正了？
第二个。反过来问：谁自己乘自己等于 4？有两个答案，2 和 −2（因为 2² = 4，(−2)² 也等于 4）。那"谁自己乘自己等于 −4"呢？一个都没有。凭什么正数有两个，负数一个都没有？
第三个。5 比 2 大，这是常识。那 −5 和 −2 谁大？
三个问题，一个考乘法、一个考开方、一个考比大小。可它们其实是同一个问题的三种问法：负号到底是干什么的？
这一章的答案只有一句话：负号就是掉头。
你在一条直线上站着，面朝右。乘以 −1，就是原地转身，面朝左。就这么简单。可这一转身，后面的事情全变了——
这一章学完，你能自己讲出这三句话背后的同一条道理，还能说清 √2 这种"开不出来的数"到底是怎么回事。不是背下来，是合上书能推一遍。
小学里，3 − 5 是不能做的题。你有 3 个苹果，要拿走 5 个——拿不出来。小学的处理办法是："不够减，所以不能减。"
可现实不这么客气。
新疆吐鲁番有个艾丁湖，湖面海拔约 −154 米。这是中国陆地最低点，比海平面还低一百多米。往西边看，珠穆朗玛峰海拔 8848.86 米。一个在地上，一个在地面以下。
现在问：珠峰比艾丁湖高多少米？
你心里的算法大概是：8848.86 加上 154，等于 9002.86，约 9003 米。对。可如果按"高处减低处"写成减法，就是 8848.86 − (−154)，而这个式子只有等于 9002.86 才对得上。
记住这个式子，它现在还是个新鲜东西：减一个负数，等于加一个正数。它是怎么来的，第五节会说透。
再说回来。3 − 5 做不下去，不是因为这道题没意义，是因为数不够用。就像你家只有三把椅子，来了五个人——不是"五个人不存在"，是你得再去搬两把。
数学家搬的这两把椅子，叫负数。
所以负数不是谁闲得慌造出来的怪东西。它是"反方向"三个字的数字化身：往上是正，往下就是负；赚了是正，欠了就是负；零上是正，零下就是负。
整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）——一家子合起来有个统一的名字，就在下面这个框里。
这里要拆一个误会。"有理数"不是"有道理的数"。这个名字来自英文 rational number，而 rational 在这个词里是"可写成比"的意思（ratio 就是比）。所以有理数的真定义是"能写成两个整数之比"。名字记不住不要紧，判据记住就行。
先算一下（别翻下面）
下面这几个数，哪些能写成两个整数之比？3、−0.75、0、1/3、（这道先空着）√2。
前四个都能：3 = 3/1；−0.75 = −3/4；0 = 0/1；1/3 本来就是比。只有 √2 不行——这事第八章才讲得清，先记着这个悬念。
数凑齐了，可它们散在地上。那么，这么多新来的数，怎么管？
正数和负数住在一起，怎么管？人类想出的办法非常聪明：把它们全部请到一条直线上排队。
三样东西——原点、正方向、单位长度——是画数轴的规矩，全世界统一这么画，属于记法约定，没有为什么，照着做就行。
但"数轴上右边的数大"这一条不是约定，它有实在的道理：往右走就是变多、变热、变赚。数轴干的是一件很了不起的事——它把"多少"变成了"位置"，把"比大小"变成了"比位置"。
生活里你早就见过它，只是没这么叫：温度计就是一根竖着的数轴。北京十二月的早晨 −10℃，广州八月的下午 35℃。往上走是热，往下走是冷，同一个刻度尺，两个方向。
电梯按钮也是一根数轴：1 楼、2 楼、3 楼往上，B1、B2、B3 往下——"地下一层"其实就是 −1 层。
自己画一条也不难，四个动作：（1）画一条水平直线；（2）在中间点一个点，标 0，这就是原点；（3）在右端画个箭头，写明"正方向"；（4）从 0 开始，每隔一样的距离点一个点，标 1、2、3……左边对称地标 −1、−2、−3。
第（4）步最要紧的是"一样的距离"。单位长度不统一，"位置"和"数值"就对不上了，这条线立刻失去意义。考试里数轴题扣分，一大半扣在尺子画歪、刻度不均。
可是数轴一立起来，第一个麻烦马上就到。
数轴一立起来，第一个麻烦马上到：−5 和 −2，谁大？
你的直觉会说：5 比 2 大，所以 −5 比 −2 大。这是错的。
用温度计试一下：−5℃ 和 −2℃，哪个更冷？−5℃ 更冷。更冷就是更小。
用钱试一下：欠 5 万和欠 2 万，哪个更糟？欠 5 万更糟。更糟就是更少——你手里的净资产是 −5 万对 −2 万。
所以 −5 < −2。
为什么"数字大反而值小"？把 2 和 5 摆在数轴上：2 在左、5 在右，所以 2 < 5。现在把 2 和 5 这两个点，连同它们的位置关系，一起翻到原点另一边：2 落到 −2，5 落到 −5。位置也跟着翻——原来是 2 在左，现在变成 −2 在右。所以 −5 在 −2 左边，−5 < −2。
一句话：数字越大，翻过去离原点越远，也就越靠左。
这就是"掉头"的第一次登场。你站在 0 点面朝右，看的是正数区。现在转身面朝左，看见的是负数区——那个世界里，一切次序都反了。
判据只有一条，稳得很：数轴上，右边的数大。不要想"哪个数字大"，去看"哪个在右边"。
相反数有个很好用的性质：一对相反数相加，恰好归零。−3 + 3 = 0。就像先赚 3 块再亏 3 块，账清了。
这个"归零"的本事，第五节做减法的时候要用它。先记着。
两个都是负的小数怎么比？先把它们化成同一种形式（都变小数，或都变分数），再看谁离 0 更远：两个负数，离 0 更远的那个反而更小。
比如 −7/8 和 −0.85。−7/8 = −0.875，它比 −0.85 离 0 更远——更远的更小，所以 −7/8 < −0.85。
但"谁在右边"只是第一把尺子。数轴上还量着另一件事，它跟"大小"没有必然关系——离原点有多远。
数轴上还有一样东西，比"在哪边"更常用：离原点有多远。
−5 在原点左边 5 格，5 在右边 5 格。两个点到原点的距离是一样的，都是 5。这个"距离"有个正式名字，就在下面这个框里。
所以 |−5| = 5，|5| = 5，|0| = 0。这三行不用背——它们就是"−5 离原点 5 格"这句话的符号写法。
现在停下来看一眼，你手上已经有了两把尺子：
同一个东西，两把尺子给出的顺序在负数范围内是相反的；正数范围内两者一致（2 < 4，|2| < |4|）。这不是矛盾，是它们在量不同的东西。想清楚这一点，本章一大半的坑就填上了。
比如：−8 和 −0.8，谁大？|−8| = 8 远大于 |−0.8| = 0.8，但 −8 < −0.8。远的那一个反而小——因为它在左边。
绝对值还有一条性质，现在看着像句废话，到初三会变成杀器：|a| 永远 ≥ 0，而且 |a| = 0 当且仅当 a = 0。
为什么它是杀器？因为"几个非负数加起来等于 0"这种情况，只有一种可能——每个都是 0。往后你会反复遇到 |x−2| + |y+3| = 0 这样的题，一秒破题就靠这一条。
换成字母也别慌。题目说"若 a < 0，则 |a| = ___"，怎么填？
答案是 −a。因为 a 本身是个负数，它离原点的距离是"把负号拿掉"的那个数，也就是它的相反数 −a。写 a 就错了——a 是负的，而绝对值不许是负的。
这是个容易反直觉的地方：字母前面多一个负号，不一定让结果变小。当 a 本身是 −3 时，−a = 3，比 a 大。负号的作用是"取相反方向"，不是"变小"。
到这里，"在哪边"和"多远"两把尺子都齐了。尺子有了，可以开始算——而算的时候你会发现，负号在四则里的每一个动作，都是在转身。
数的规矩说完了，开始算。
加法就是在数轴上走路。你站在被加数那个位置，面朝右；加正数就往右走，加负数就往左走。
3 + (−5)：从 3 出发，往左走 5 格，停在 −2。 (−3) + (−2)：从 −3 出发，往左走 2 格，停在 −5。
走两段路的总位移，跟你先走哪一段没关系——这就是加法的交换律和结合律。它们在负数世界里原样成立，不需要重新学。
减法换个写法就好。a − b 就等于 a + (−b)：减去一个数，等于加上它的相反数。
这不是靠一个例子说服你，可以一般地验一遍：算 (a + (−b)) + b。用结合律，它等于 a + [(−b) + b] = a + 0 = a。也就是说，a + (−b) 这个数，加上 b 之后恰好回到 a——而"减去 b 还剩多少"的那个数，正是"加上 b 能回到 a"的数。所以对任意 a、b，都有 a − b = a + (−b)。
从此，所有减法都先改写、再计算。7 − (−4) 先改写成 7 + 4，等于 11。回到第一节那个式子：8848.86 − (−154) = 8848.86 + 154 = 9002.86。修好了。
先合上答案，自己做
① (−4) + 9 ② −5 − (−8) ③ 0 − 7 ④ (−6) − (−2)
① 5（从 −4 向右 9 格）。② −5 + 8 = 3。③ −7（0 往左走 7 格，别慌，0 减正数就是负数）。④ (−6) + 2 = −4。
乘法才是这一章的正戏。先回到开篇那个问题：(−2) × (−3) 为什么是 +6？
先给你一个说法，暂不作证明：乘以 −1，就是在数轴上掉头。乘以 +1 原地不动；乘以 −1 翻到原点对面去。
那么 (−2) × (−3) 里有两个负号，就是掉两次头。掉两次，又回到原来的方向——所以结果该是正的。注意掉头只管符号，大小另算：6 那个大小来自 2 × 3。两句合起来，才是 +6。这个说法对不对，得算出来才算数。
三步推出负负得正
第一步(−2) + 2 = 0。依据：相反数相加归零（第三节）。
第二步两边同乘 (−3)：(−3) × [(−2) + 2] = (−3) × 0 = 0。
第三步用分配律把左边拆开：(−3)×(−2) + (−3)×2 = 0。而 (−3)×2 = (−3) + (−3) = −6（两个 −3 相加）。所以 (−3)×(−2) + (−6) = 0，能填进这个位置的只有一个数：+6。
状态：到这里，负负得正已经不是口诀了，是"分配律不许被破坏"逼出来的唯一答案。
看清楚这一步的分量。数学家面对新来的负数，只提了一个要求：你在正数世界守的规矩，到这里还得守。一守规矩，答案就被锁死了——不是他们想让负负得正，是不这么办，分配律当场就废了。
你可能会问：凭什么非让负数守分配律？不守行不行？试试就知道：如果不守，同一个式子 (−3) × [(−2) + 2] 就会算出两个答案——按括号先算，得 0；按分配律拆开，是"某个数 + (−6)"。同一个式子两个不同的结果，算术就废了。所以数学家不是"选了"让负数守规矩，是不守就没法算。
再回头看你一开始听的那个"掉头"说法：它和这三步推导说的是同一件事的两面。掉头管符号——两个负号就是掉两次头，回到正；大小另算——那 6 来自 2 × 3 = 6。
换个场景再验一遍，这回不用符号：
一个水池，水位每分钟下降 3 厘米。把"下降"记作 −3（厘米/分钟）。问：3 分钟前，水位比现在高多少？
答：高 9 厘米。写成算式就是 (−3) × (−3) = +9。
"下降"乘"之前"，两个反方向的东西叠在一起，结果又反了过来——所以是"更高"。你不用记这个例子，你只要记住：两个"反"叠起来，就是"正"。
除法是乘法的影子，符号规则照抄：同号得正，异号得负。(−6) ÷ (−2) = 3，(−6) ÷ 2 = −3。
四则齐了，还有一位特殊角色要单独交代：0。它在四种运算里的身份各不相同，考试很喜欢拿它设坑。
| 运算 | 0 的表现 | 为什么 |
|---|---|---|
| 加法 | 加 0 不变：a + 0 = a | 原地不动，走 0 步 |
| 减法 | 0 − a = −a | 从原点往左走 a 格，落在负区 |
| 乘法 | a × 0 = 0 | "0 组 a"，一组也没有 |
| 除法 | 0 ÷ a = 0（a ≠ 0）；a ÷ 0 没有意义 | 问"几个 0 加起来等于 a"，永远问不出非零答案 |
最后一行要记住的不是"不能除"，是为什么不能除：除法问的是"要几个除数才能凑出被除数"。0 加多少次还是 0，凑不出任何非零的数；而 0 ÷ 0 更糟——任何数乘 0 都得 0，答案不唯一，所以也不算。
注意 0 还有一个身份：它不是正数，也不是负数。它站在正负之间，是那条分界线本身。
全解（刚才那题）：求 (−3) × (−2)。
①(−2) + 2 = 0 —— 相反数归零。
②两边同乘 (−3)：(−3) × [(−2) + 2] = (−3) × 0 = 0。
③分配律拆开：(−3)×(−2) + (−3)×2 = 0，而 (−3)×2 = −6。
④所以 (−3)×(−2) = +6。
挖掉末步（前两步写好，后面你来）：求 (−5) × (−4)。
①(−4) + 4 = 0。
②(−5) × [(−4) + 4] = (−5) × 0 = 0。
③用分配律拆开：______ ＋ ______ ＝ 0，其中 (−5)×4 = ______。
④所以 (−5) × (−4) ＝ ______。
③ (−5)×(−4) + (−5)×4 = 0，而 (−5)×4 = −20。④ 所以 (−5)×(−4) = +20。
全空白（这题从头到尾你自己写）：求 (−2) × (−7)。不许写"负负得正"，必须出现分配律，草稿上要能看见那四步。
(−7)+7 = 0 → (−2)×[(−7)+7] = 0 → (−2)×(−7) + (−2)×7 = 0 → (−2)×(−7) + (−14) = 0 → (−2)×(−7) = +14。
这三题连着做，你练的不是"记住一个结论"，是"每次都能重新造一遍这个结论"。差别在哪？下一章字母带负号满天飞的时候，背结论的人会卡住，会推的人不会。
前面全在推原理，考试不考原理，考这个：
−2³ + |−5| − (−3) × (−4)
四样东西混在一起，先算谁？顺序是固定的：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面；绝对值先算里面再取距离。
① 乘方−2³ = −(2×2×2) = −8。负号在括号外，不属于底数——这是第六节那个坑。
② 绝对值|−5| = 5。问的是"离原点多远"。
③ 乘法(−3) × (−4) = +12。两个负号，掉两次头，得正。
④ 代回原式变成 −8 + 5 − 12。
⑤ 改写减法先变成加法：−8 + 5 + (−12)。这一步写在草稿上，别省。
⑥ 从左到右−8 + 5 = −3；−3 + (−12) = −15。
答案 −15。回头看，这道题把本章五样东西全用上了：乘方的括号、绝对值的距离、乘法符号、减法改写、连加走位。
变式（只改一个条件）：−2² + |−3| − (−4) × 2。
−2² = −4；|−3| = 3；(−4)×2 = −8，所以原式是 −4 + 3 − (−8) = −4 + 3 + 8 = 7。改动只有两处：底数从 2³ 换成 2²，最后一个因数从 −4 换成 2——但答案的正负整个变了，这就是符号的威力。
两个负数相乘得正。那么乘三次、四次、十次呢？
加法是"重复地走"，乘法是"重复地加"。再往上一层：重复地乘。同一个数连乘好几遍，写起来太啰嗦，于是有了压缩写法。
2³ = 2×2×2 = 8。注意不是 2×3 = 6——这是刚接触乘方时最常见的错，因为"³"长得像要乘 3。
符号怎么进？还是"掉头"那套。底数带负号，指数是几，就是掉几次头：
所以规则只有一句：负底数的幂，指数是偶数结果为正，指数是奇数结果为负。（指数多大都不用管，只看奇偶。）
本章最容易撞车的一对，现在摆出来：
| 写法 | 负号在哪 | 怎么算 | 结果 |
|---|---|---|---|
| (−2)⁴ | 在括号里，是底数的一部分 | (−2)×(−2)×(−2)×(−2) | +16 |
| −2⁴ | 在括号外，只是幂前面的一个负号 | −(2×2×2×2) = −(16) | −16 |
上面那个是"四个 −2 相乘"，下面是"先算 2⁴，再添一个负号"。现行约定是：负号不在括号里，它就不属于底数。这是记法的规矩，考试按这个判。
乘方还顺手解决了一个生活问题：大数怎么写才不眼晕。
为什么可以这么写？因为 10⁸ = 1 后面跟 8 个 0（这就是乘方的定义），所以 5.7 × 10⁸ 就是 5.7 亿。科学记数法的本质，是把"小数点挪了几位"换成指数——小数点从原位挪到第一个非零数字后面，向左挪几位，指数就写几。570000000 的小数点在最后面，挪到 5 和 7 之间，一共挪了 8 位，所以是 10⁸（不是"数 7 个 0"——那样会算错成 7）。
顺带一个后面会用到的规矩：10 的几次方相乘，指数直接相加。10⁸ × 10⁷ = 10¹⁵。为什么？10⁸ 是 8 个 10 相乘，10⁷ 是 7 个 10 相乘，合起来正好 15 个 10 相乘。
几个真实的量，写成它就顺眼了：
| 东西 | 普通写法 | 科学记数法 |
|---|---|---|
| 光速 | 约 300000000 米/秒 | 约 3 × 10⁸ 米/秒 |
| 地球到太阳的平均距离 | 约 150000000000 米 | 约 1.5 × 10¹¹ 米 |
| 一年有多少秒 | 约 31500000 秒 | 约 3.15 × 10⁷ 秒 |
最后一行值得记一下：光走一年是 3×10⁸ × 3.15×10⁷ ≈ 9.45×10¹⁵ 米。这就是"一光年"。你会发现，用科学记数法，一个大到没法想象的数，写起来只占半行。
还有一个细节必须钉死：1 ≤ a < 10，也就是 a 的整数部分只有一位（1 到 9），但 a 本身可以是小数。4600000 要写成 4.6 × 10⁶，写成 46 × 10⁵ 是错的——虽然数值一样，但不符合这个记法的规定。
所以，连乘这条路走到头了：从"加法重复"到"乘法重复"，再到把大数压缩成半行。接下来换个方向问——不是"乘几次得多少"，而是"谁乘出来等于它"。
乘方是"自己乘自己"，那反过来问呢——谁自己乘自己，等于 25？
5。因为 5² = 25。
且慢，−5 也满足：(−5)² = 25。所以答案是两个：5 和 −5。
为什么正数有两个平方根？看平方这个动作本身：x² = x·x，两个因数一模一样。
两个不同的数，平方以后落到同一个地方——所以 25 有两个平方根。根子在"负负得正"：两个负号相乘会翻成正号，于是负的那条路也被记到了正的账上。
那 0 呢？0 × 0 = 0，只有一个数能做到（−0 就是 0，不算第二个）。所以 0 只有一个平方根。
那负数呢？一个都没有。因为 x² = x·x，两个因数同号：同为正得正，同为负还是得正（负负得正）。所以平方的结果永远不是负数。小于 0 的数，自然找不到谁能平方出来。
用"掉头"再看一层也通：要让结果落在负数区，需要的负号个数得是奇数；可平方恰好是两个同样的因数相乘，负号要么 0 个、要么 2 个，永远是偶数个。偶数个负号，翻回正号。所以负数开不出平方来。
这里有个一字之差、答案差一倍的陷阱，必须现在拆：
| 说法 | 问的是什么 | 49 的答案 |
|---|---|---|
| "49 的平方根" | 所有平方后等于 49 的数 | ±7（两个都要） |
| "√49" | 那个正根，只有它 | 7（只取正） |
√ 这个记号是历史上传下来的印刷约定，重要的是它只指正根。所以 √16 = 4，不写 ±4；而"16 的平方根"= ±4。问法不同，答案就不同。
再往上一层：如果问的是"谁自己乘三次等于它"呢？x³ = 8，谁的三次方是 8？2。那 x³ = −27 呢？
立方也是同一套看法：x³ = x·x·x，三个因数。负数的话，三个因数都是负的，三个负号相乘还是负号（奇数个负号留在负号），所以负数的立方仍然是负数。于是 −27 找得到自己的立方根（−3）；而 −27 之所以当不了平方的结果，是因为平方只允许偶数个负号。
到这里，你手上已经有了一把很锋利的刀：负号的个数，决定结果是正还是负。同一个道理，在四个地方露过面：
| 场合 | 负号的个数 | 结果 |
|---|---|---|
| (−1)¹⁰ | 10 个（偶） | +1 |
| (−1)¹¹ | 11 个（奇） | −1 |
| 平方 x²（两个同号因数） | 0 个或 2 个（偶） | 结果不为负 → 负数没有平方根 |
| 立方 x³（三个同号因数） | 0 个或 3 个（奇） | 结果可以为负 → 负数有立方根 |
这不是四条要背的规则，是同一条规律的四次露面。
这是每年都有人摔的同一道题。左边是错的，右边是对的，差别只有一处。
| 题目 | ❌ 常见错解 | ✅ 正确解法 |
|---|---|---|
| 求 49 的平方根 | 7 漏了负的 | ±7 因为 (±7)² = 49 |
| 求 √49 | ±7 √ 只取正根 | 7 |
| 求 (−7)² 的平方根 | −7 (−7)² = 49，问的是 49 的平方根 | ±7 |
三行的正确答案摆在一起：±7、7、±7。同一个数字，三种问法，两个不同答案。这不是出题人在绕你，是三个问句问的确实是三件事。
读题时多做一件事就好：把题目里的问法圈出来——圈的是"平方根"，答案写两个；圈的是"√"，答案写一个。
于是，开方这条路也走到了一个奇怪的地方。有些数开得干干净净，有些数开出来，是一个你从来没见过的家伙。
现在到了全章最不讲道理的一步。
画一个边长是 1 的正方形，它的对角线有多长？
把两个边长是 1 的正方形，各沿一条对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，每个的面积是 1/2。把它们转着拼，能拼出一个以那条对角线为边长的大正方形，而大正方形的面积正好是 4 × 1/2 = 2——这个拼法（勾股定理）先记着，单元 5 会讲透。小正方形面积是 1，所以大正方形面积是 2。也就是说：对角线自己乘自己，等于 2。
那这条对角线，就是"平方等于 2"的那个数。按上一节的说法，它该有名字吧？
有的，记作 √2。麻烦在于它的十进制写法：
√2 = 1.41421356237309504880…
小数点后面一直往下写，永远写不对齐，也永远不会开始循环。它不像 0.5 那样能写完，也不像 1/3 = 0.3333… 那样有循环节。它就是不循环、也不停。
这样的数，你把它写成两个整数之比试试——写不出来。两千多年前，毕达哥拉斯的学派坚信"万物皆可表示为整数或整数之比"，当他们发现 √2 做不到这一点时，据说把发现这件事的人扔进了海里。这个故事的真伪已不可考，但它说明一件事：这个数是真正的新东西。
有理数加上无理数，就是实数——中考里你会遇到的全部数，到此点齐。
现在打三针预防，这三处每年都有人倒：
① 带根号，不一定是无理数。√4 = 2，2 是整数，所以 √4 是有理数。判断看的是算出来的结果，不是它长什么样。
② π 不等于 22/7。22/7 是分数，是有理数，只是 π 的一个近似值。π 本身是无限不循环的。
③ 无理数不只有带根号的和 π。比如 0.101001000100001…（每次多一个 0），它不循环、写不完，所以也是无理数。这种叫构造出来的无理数。
最后一步：把无理数也请上数轴。√2 ≈ 1.414，落在 1 和 2 之间，靠左一点。
而数学上可以证明（这条证明挂个欠条，单元 3 之后再还）：数轴上每一个点都恰好对应一个实数，一个不多、一个不少。这条被填满的直线，就是接下来三年所有函数题的舞台——这一章把台子搭好，单元 3 才开始唱戏。
这一步中考不要求你自己证，但看一眼值——看完你就不会再把 √2 当成"一个算不准的小数"。
①先假设它能写成最简分数：√2 = p/q，其中 p、q 已经约到不能再约（互质）。
②两边平方：2 = p²/q²，也就是 p² = 2q²。
③右边带着因子 2，所以 p² 是偶数。一个整数的平方是偶数，这个整数一定是偶数（奇数的平方还是奇数）。
④那么 p 是偶数，写成 p = 2k。代回 ②：4k² = 2q²，约掉 2 得 q² = 2k²。同理，q 也是偶数。
⑤p、q 都是偶数，说明它们还能约掉 2——可第一步说好了"已经约到最简"。矛盾。
结论：√2 不能写成任何分数。不是"我们还没找到那个分数"，是"根本不存在"。
这个套路值得记一下：假设它成立 → 一路推 → 推出自相矛盾 → 所以它不成立。这叫反证法，往后几何证明里还会反复见到。
知道它存在，还得知道它大概在哪。方法是"猜—平方验—缩区间"：
1² = 1 < 2 < 4 = 2²，所以 1 < √2 < 2。
1.4² = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5²，所以 1.4 < √2 < 1.5。
1.41² = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42²，所以 1.41 < √2 < 1.42。
每试一次，区间就缩一位小数。这就是为什么计算器给出的 1.414 是近似值——它只是把区间缩到了小数点后三位，而 √2 本身是写不完的。
剩下最后一个疑问：这些看得见、看不见的数，真的能把那条直线填满吗？会不会还有别的数，连 √2 这种都不算？
现在可以回答开篇那三个问题了。它们确实是同一个问题。
(−2) × (−3) 为什么是 +6？因为负号是掉头，两个负号是掉两次头，掉两次头就回到原方向。严格地说，是因为只要让分配律在负数世界里继续成立，那个位置就只能填 +6。
为什么 −4 没有平方根？因为平方是掉两次头，偶数次。偶数次掉头永远回到正的一边，你永远到不了负数区。要"掉两次还停在对面"，需要奇数次——可平方偏偏是两次。
−5 和 −2 谁大？−5 小。转身之后，"前面"和"后面"换了位置，数字越大反而越靠左。判据永远是"谁在数轴上右边"。
一个问题，三条答案：负号改变的是方向，而方向的改变是有次数的。掉一次，反了；掉两次，回来了；掉奇数次，反；掉偶数次，回。你在整章里学的每一条符号规则，都是这句话的一个侧面。
顺带，那条一直往回指的线也接上了：3 − 5 做不下去，逼出了负数；x² = 2 开不出来，逼出了无理数。数不是一开始就长成现在这样的，它是一步步被"做不下去"逼出来的。而且每次扩军，规矩一条都没改——这就是为什么新来的数只能按老规矩办事，负负才必须得正。
回到最开始那三个问题，你现在应该能一口气答完。这就是这一章的全部内容，剩下的只是练熟。
不看这页，试着回答这三句：
① 用"掉头"解释：为什么 −5 < −2？为什么负负得正？为什么负数没有平方根？
② 不看材料，写出 (−3)×(−2) = 6 的三步推导（必须出现分配律）。
③ √2 和 2 有什么区别？"1.414 是 √2 吗"这个问题怎么答？
提醒一句：读着顺不算学会。这一章特别容易骗人——"负负得正"人人会背，"√"和"平方根"看着也眼熟。背过的人最容易以为自己早就会了。判据只有一条：合上书，上面三句你自己讲得出来，讲不出就回去补那一节。
第一步，三十秒：把"我卡在哪一句"写下来。写不出，说明还没定位，不是不会——回到这一节开头那个问题，看它问的是什么。
第二步，两分钟：只回看跟那句相关的一段，不要重读整节。
第三步：还不行，看最近的一个完整例子，然后合上页面重做。不要停在"看懂了"。
要用 AI 时：先写出你自己的尝试（哪一步、用了什么道理），再让它只给提示或追问，不要它直接给答案；拿到提示后关掉，自己重做一遍。
| 规则 | 判决 | 一句话交代 |
|---|---|---|
| 减法 = 加相反数 | 原理 | 两条路结果相同（相反数归零保证），是等价改写，不是新规定。 |
| 负负得正 | 原理 | 分配律不许被破坏，逼出的唯一答案（第五节三步推导）。 |
| 同号正、异号负（乘除） | 原理 | 连乘与掉头次数直接算得。 |
| |a| ≥ 0；负数的绝对值是它的相反数 | 原理 | 距离没有方向，定义即意义。 |
| 正数两个平方根、负数没有、负数有立方根 | 原理 | 掉头次数的奇偶之别（第七节）。 |
| 数轴三要素、向右为正 | 约定 | 全球统一记法标准。 |
| 负号不在括号里就不属于底数（−2⁴ = −16） | 约定 | 现行记法判卷口径。 |
| 科学记数法 1 ≤ a < 10 | 约定 | 保证所有人写法一致。 |
| √a 只取非负根 | 约定 | 记号含义的约定。 |
| 负指数幂（如 10⁻³） | 欠条 | 到《1C 分式与二次根式》兑现。 |
| 数轴被实数铺满的证明 | 欠条 | 单元 3 讲完坐标系之后兑现。 |
| √2 拼图证明（勾股定理） | 欠条 | 单元 5 兑现。 |
卡在哪，就报哪：读完在任何一处卡住，发"1A ＋ 节号 ＋ 一句描述"（例："1A · 第五节 · 负负得正第三步没跟上"）。卡点多的节会被优先重修。
再报一句：下面这五种说法，哪些你现在能自己讲出来，哪些还是背的？——讲不出的那几个，就是下一轮要修的地方。
① 为什么 −5 < −2 ② 负负得正的三步推导 ③ (−2)⁴ 和 −2⁴ 差在哪 ④ 平方根和算术平方根差在哪 ⑤ 为什么 √4 不是无理数
依据：人教版七年级上册第一章、七年级下册第六章；北京卷解答题第一题（第 17 题）常年的实数运算组装题。真实数据：艾丁湖湖面海拔 −154 米（中国陆地最低点）；珠穆朗玛峰海拔 8848.86 米（2020 年中尼联合公布）；光速约 3×10⁸ 米/秒；地球到太阳平均距离约 1.5×10¹¹ 米；√2 ≈ 1.41421356。v2 重写（2026-11-01）：谜题从"念目录"换成"三个问题一个答案——负号就是掉头"；题库与背诵点移入导图页；补入六处真实锚点（艾丁湖/珠峰、温度计与电梯、水池放水、光速与日地距离、√2 的十进制、毕达哥拉斯学派）。旧版备份：_备份\v2重写前-20261101\。