抓住那个"没变"的东西
先做一件小事。
你冲柠檬水：2 勺糖，5 杯水，正好喝。下次多来一个人，你想多冲一点——4 勺糖，10 杯水。
味道会变吗？不会。还是一样甜。
可换个改法：糖从 2 勺加到 4 勺，水从 5 杯加到 7 杯。糖和水都"加 2"，很公平吧？
味道变了。而且变的方向，多半出乎你的意料——更甜了。
明明两边加得一样多，怎么反而更甜？
答案只有一句话：甜不甜，只认一个东西——糖和水之间的倍数关系。
至于为什么是"更甜"而不是"更淡"，算一下就清楚：2:5 的比值是 2÷5 = 0.4，4:7 的比值是 4÷7 ≈ 0.571。后者更大，说明糖占的分量更重了。道理在于——2 加到 4 是翻了一倍，5 加到 7 只多了四成；加的是同一个数，可小的一方被放大得更多。所以两边加同样多，比分反而朝数值小的那一边偏。
这一章从头到尾只干一件事：在一堆变化里，找出那个没变的东西。
柠檬水是这样，配药、和面、画地图、算速度，全是这样。到了后半章，我们还会用一个更厉害的工具把这个"关系"写下来——那个工具叫字母。
这一章学完，你能自己讲出：为什么翻倍不变味、各加 2 反而更甜；怎么用两个比相等的式子把"配方"记下来；正比和反比到底差在哪；以及为什么一个 a + b = b + a 就能说完无穷多条算式。
刚才那句"倍数关系是 2:5"，写法是新的，意思你早就懂了。
注意两件事。
第一，比有顺序。糖:水 = 2:5 说的是"糖是水的五分之二"；水:糖 = 5:2 说的是"水是糖的 2.5 倍"。这两句话意思完全不同——一个说"水里有一点糖"，一个说"糖里有很多水"。所以写比之前，先问自己一句：谁比谁？
第二，写比之前先看清两边的单位。同类量、单位不同，要先统一：3 米比 50 厘米不能直接写 3:50（一边是米，一边是厘米），统一成 300:50 才能化成 6:1。
还有一类比，两边根本不是同一类量——路程比时间、总价比支数、糖比水。这种比有名字，叫"不同类量的比"，它比出来是一个新东西：速度、单价、甜度。它同样合法，只是结果带着单位。
不管是哪一类，有一条禁令是共用的：比的后项不能是 0。因为比就是除法，除数不能是 0。这条和"分母不能为 0"是同一句话，考试里常拿来设坑。
接下来是这个概念最省力的地方：比、除法、分数，是同一个东西的三张脸。
为什么要三张脸？因为出场场合不同：说"配方""倍数"时用比最顺手；真要算数时用除法；写成分数还能约分、能比较。就像同一个人，在家叫小名、在学校叫全名、挂号时叫身份证号。
这个"一个内核"还能解释生活里一大堆东西：
| 东西 | 它其实是哪个比 |
|---|---|
| 速度 60 千米/时 | 路程 : 时间 = 60 : 1 |
| 单价 8 元/支 | 总价 : 支数 = 8 : 1 |
| 地图比例尺 1:50000 | 图上距离 : 实际距离 |
| 手冲咖啡常说的"粉水比 1:15" | 咖啡粉 : 水（15 克粉配 225 克水） |
| 屏幕 16:9 | 宽 : 高 |
最后一行值得多想一秒：16:9 和 9:16 是同一个比吗？不是——一个是横着放，一个是竖着放。同一块屏幕转个 90 度，说法就换了；但写的时候不能混，因为这决定了你算出来的是宽还是高。这就是"比有顺序"的意思。
再往下一句走：如果倍数关系没变，那些具体数字就可以随便变。所以在动手算之前，得先弄清一件事——什么时候倍数关系会变，什么时候不会。
4 勺糖配 10 杯水，和 2 勺配 5 杯，味道一样——因为 2:5 和 4:10 是同一个倍数关系。把两个数同时乘 2，比不变。
这是比最重要的一条性质，而它一点都不神秘：比就是分数，分子分母同时乘一个数，值不变——这是 0A 里你已经用过无数次的约分、通分。
同乘同除，比不变
换脸a:b 就是 a/b。
同乘分子分母同时乘 k（k ≠ 0）：(a×k)/(b×k)。这相当于把尺子的每一格都缩小到原来的 1/k——量出来的倍数关系当然还是同一个。
结论a:b = (a×k):(b×k)。这就是化简比的依据：12:18 前后同除 6，得 2:3，关系没变，只是换了把更粗的尺子。
这条"换尺子"的道理，生活里有个特别漂亮的实物——一张 A4 纸。
A4 是 210 毫米 × 297 毫米。长除以宽：297 ÷ 210 ≈ 1.414。现在把长边折一半（折痕垂直于长边），得到 148.5 毫米 × 210 毫米，差不多就是 A5 的大小。再算一次：210 ÷ 148.5 ≈ 1.414。
比例几乎没变。可这件事一点都不"当然"——对折只把长边减半，宽一个毫米都没动。随便拿一张别的长方形纸来折，形状一定会变。
A 系列纸之所以不变，是因为它的长宽比被特意定成了 √2 : 1（约 1.414）。这个数有个特别的本事：把两边的数字调个头、再取一半，比例还是它自己。
用数字验一遍：297 ÷ 210 ≈ 1.414；把 297 换成 210、把 210 换成 148.5，210 ÷ 148.5 ≈ 1.414。一样。
所以从 A0 一路折到 A4，形状始终不变——这是设计出来的，不是碰巧。（√2 是 1A 那一章的主角之一；还没读到的话，先记住"它约等于 1.414"就够用。）
注意这里的"同除 2"只用在了长边上，宽没动——所以它不是"两个数同时除 2"。真正让比例保住的是那个特别的比值，不是同除这个动作。这一点要分清楚。
说到"化简"，这里有一对特别容易混的兄弟，现在就把它们分开：
| 问法 | 要的答案 | 12:18 的答案 |
|---|---|---|
| "把这个比化简" | 还是一个比 | 2:3 |
| "求这个比的比值" | 一个数 | 2/3（也就是 0.667） |
同一对数、同一个约分动作，出来的东西不一样：一个是"关系"，一个是"结果"。读题时多看一个字就行——问"化简"给比，问"比值"给数。
全解（刚才那题）：12:18。
化简前后同除 6：12:18 = 2:3。结果还是个比。
求比值12 ÷ 18 = 12/18 = 2/3（约 0.667）。结果是一个数。
验2:3 的比值也是 2/3——两条路算出来的是同一件事，只是说法不同。
挖掉末步（这题的最后一步留给你）：0.5:0.15。
① 去小数前后同乘 100：0.5:0.15 = 50:15。比里一般不许留小数，第一步先乘成整数。
② 约前后同除 5：50:15 = ______ : ______。
③ 求比值如果问的是比值，答案是 ______。
② 10:3。③ 10/3 ≈ 3.33。注意 0.5:0.15 如果偷懒只除 0.5，会得到 1:0.3——还带着小数，没化简完。
全空白（这题从头到尾你自己写）：把 3 米 : 50 厘米化简，并求出它的比值。
先统一单位：3 米 = 300 厘米，所以是 300:50。同除 50 得 6:1；比值是 6 ÷ 1 = 6。不统一单位直接写 3:50 是错的——那不是同一个量的倍数关系。
这三题连着做，练的是同一个动作：先看清问的是"比"还是"数"，再动手。
那么，"味道一样"这件事，怎么用式子写下来？两个比既然相等，就让它们相等地站着。
位置怎么记？看式子两端——站在最外面的两个是外项，夹在中间的两个是内项。像四个人站成一排，最左和最右是"外"，中间的两位是"内"。
比例式有一条极其好用的性质：内项积等于外项积。
为什么 ad = bc
第一步换脸：a:b = c:d 就是 a/b = c/d。
第二步等式两边同时乘 b×d（天平两边同乘一个数，天平不歪——这是等式的根本性质，0A 学过。这里要求 b、d 都不为 0，因为比的后项不能是 0）。
第三步左边：(a/b) × b × d = a × d（b 被约掉）。右边：(c/d) × b × d = c × b。
结论ad = bc。外项积等于内项积。
反过来也成立已知 ad = bc（b、d 都不为 0），两边同除 b×d，得 a/b = c/d，也就是 a:b = c:d。所以这两句话可以互相替换——解比例时你用的正是"反方向"那一步。
注意这条性质是推出来的，不是背出来的。推它只用两块旧砖："比就是分数"和"等式两边同乘不变"。数学里几乎每件新工具都是这么来的——老零件，新组装。
它有什么用？用来解比例。比如 3:x = 6:8，求 x：
①内项积 = 外项积：x × 6 = 3 × 8。
②算出右边：6x = 24。
③把 x 抠出来：x = 24 ÷ 6 = 4。
④验一下：3:4 = 6:8？两边化简都是 3:4。✓
第三步那个"从 6x = 24 里把 x 抠出来"，你在 0A 已经做过了，那叫"乘法的影子"。所以你现在其实已经在解方程了，只是还没给它正式的名字——这个名字在单元 2 会有，那里会教你一套更系统的打法。
比例式在生活里最常出现的地方，是地图。
一张地形图的角上写着 1:50000。它的意思是：图上 1 厘米，地上 50000 厘米。问：图上量得两地相距 3 厘米，实际多远？
①实际距离 = 3 × 50000 = 150000 厘米。
②换单位：150000 厘米 = 1500 米 = 1.5 千米。
第二步千万别省。150000 这个数看着挺大，但它是"厘米"——你得把它换成你能想象的东西：1.5 公里，走路二十来分钟。
如果两个量的倍数关系不是偶然相等，而是永远锁死呢？这就是下一节的事。
这个世界上很多量是成对变的：买 1 支笔花 3 元，买 2 支花 6 元；走 1 小时 5 千米，走 2 小时 10 千米。盯着"一个变，另一个怎么跟着变"，你会发现两种最基本的跟法。
| 数量（支） | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 总价（元） | 3 | 6 | 9 | 12 | 30 |
| 总价 ÷ 数量 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
最后一行是全章最重要的证据：每一行相除都是 3。这个"3"就是那个没变的东西——单价。数量怎么变，这个 3 岿然不动。
所以判正比的判据不是"两个都变大"。你看：数量从 1 到 10，总价从 3 到 30，确实都变大——但真正的理由是中间那个比值一直是 3。
这张图先看一眼就行。单元 3 会正式讲坐标系，那时你会知道：正比画出来是一条过原点的直线。
反过来说，不是所有"跟着变"的量都成正比的。比如打车有起步价：起步里程之内，你坐一公里和坐三公里，付的钱一样。这时候"里程"变了、"车费"没变，两者就不是正比。
这个反例值得停一下。它提醒你："关系"是要动手去查的，不是默认存在的。看到两个量一起动，先别急着贴标签；先算一算相除或相乘，看看有没有一个数始终不动。
但"一起变"还有另一种跟法，而且方向是反的。
| 长（厘米） | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 宽（厘米） | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 长 × 宽 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 |
这回不动的是乘积：12。长从 1 涨到 12，宽从 12 掉到 1——一个多，另一个就少，但乘积纹丝不动。
把两种关系并排放在一起看，差别就在这么两行：
| 正比 | 反比 | |
|---|---|---|
| 锁住的是什么 | 比值（相除的结果） | 乘积（相乘的结果） |
| 一个乘 2 | 另一个也乘 2 | 另一个除以 2 |
| 方向 | 同向：你多我也多 | 反向：你多我就少 |
| 例子 | 单价固定，总价与数量 | 面积固定，长与宽 |
| 怎么验 | 相除，看结果变不变 | 相乘，看结果变不变 |
先自己判断，再看答案
下面三对量，分别是正比、反比、还是都不是？① 每支笔 3 元，总价与数量；② 面积固定为 12 的长方形，长与宽；③ 一张饼分给若干人，人数与每人分到的量。
① 正比（总价 ÷ 数量 = 3，不变）。② 反比（长 × 宽 = 12，不变）。③ 反比（人数 × 每人所得 = 一整张饼，不变；人越多，每人越少）。
判正反比有个前提：得能找到一个"不变"的东西——注意它不是题目里出现的某一个量，而是两个量之间的比值或乘积。买笔那道题里，数量在变、总价在变，真正不动的是"总价 ÷ 数量"这个商。生活里很多成对的量，连这个商或积都不锁。
正方形的边长和面积。边长 1 时面积 1；边长 2 时面积 4；边长 3 时面积 9。边长翻倍，面积翻了四倍——既不是"也乘 2"，也不是"除以 2"。它不是正比，也不是反比。
这条边界值得记住：判不出来的时候，别硬套，先去找"那个不变的量"。找得到，就看它是比值还是乘积；找不到，那就是两样都不锁。
到这里，比和比例的事说完了。可这些"关系"还只能用具体数字写——2:5、1:50000、3:1。能不能用一种写法，把这个关系一次写死？
柠檬水的配方是"糖是水的五分之二"，写成比是 2:5。可这个配方能冲 5 杯，也能冲 10 杯、50 杯、500 杯。每冲一次，你都要重算一遍数字。
有没有一种写法，把"糖 = 水 × 2/5"这件事一次写死，不管多少杯都管用？
有。把那个会变的量换成一个字母。
a + b = b + a。这里的 a 和 b 不是某个具体的数——它们是两个座位，任何数都可以坐进来。坐 3 和 5，就是第一行；坐 8.6 和 0.4，就是最后一行。
你其实早就懂交换律了。字母只是让"任何两个数"这四个字，终于能写下来。
0A 里那三条运算律，现在全部搬到字母世界：
| 运算律 | 字母版 |
|---|---|
| 加法交换律 | a + b = b + a |
| 加法结合律 | (a + b) + c = a + (b + c) |
| 乘法分配律 | a × (b + c) = a×b + a×c |
内容一个字没变。变的是它们罩着的范围——从"我试过的那些数"，变成了"一切数"。这就是代数：不是算术的加强版，是算术的万能版。
回到柠檬水。设水有 x 杯，糖就要 x × 2/5 杯。这一个式子，管你冲多少杯：x = 5 时是 2 勺，x = 10 时是 4 勺，x = 50 时是 20 勺。配方从此只用写一次。
有人会问：那 a 到底等于几？
答案是：a 可以先后是任何数，但不能同时是一个固定的数。
在 a + b = b + a 这个式子里，让 a 坐 3 可以，坐 100 也可以——它不挑。这就像信封上写"亲爱的住户"：可以是张三，也可以是李四，但不会同时塞进两个门。你让它代表谁，它就代表谁。
什么时候它被"绑定"？当你说"设 a = 4"的那一句起。从那句话到题目结束，这道题里的 a 就是 4，不能再变。
这里要老实交代一句：现在的字母，只能代表你已经认识的数——自然数、分数、小数。负数还没登场，所以"任何数"这三个字现在还差一角，等 1A 那一章把负数请出来，这个口子才真正补上。
那字母本身有没有自己的规矩？有，但都是些省笔墨的写法，没有一条藏着数学。
字母一多，式子就变长。为了写得快、读得清，定了几条写法约定：
这三条是纯粹的记法约定——全世界统一这么写，为的是省墨水和少出错，没有更深的道理可挖。你不用去理解"为什么"，照写就行。
几个常用的，全部来自你已经懂的事：
| 东西 | 字母式子 | 它其实是什么 |
|---|---|---|
| 长方形周长 | C = 2(a + b) | （长 + 宽）的两倍 |
| 长方形面积 | S = ab | 长乘宽 |
| 速度 | v = s/t | 路程比时间——第一节那个"比"又来了 |
代入求值，就是"字母版填空"：a = 4、b = 3 时，C = 2(a + b) = 2 × 7 = 14，S = ab = 12。
表里那些字母不是随便挑的：C 来自 circumference（周长），S 来自 surface（面积），v 是 velocity（速度），s 是 space（路程），t 是 time（时间）。你用别的字母也不算错，但全世界的卷子都这么写，跟着写省事。
代入这件事看着简单，却有个坑：2(a + b) 里的括号是一个整体，代入时要整体换，不是把 4 和 3 分别塞进去变成 2×4 + 3。养成一个动作就好——代入之前先把括号圈起来。
接下来是一对最容易撞车的兄弟，现在就把它们摆开：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2n（n 的两倍） | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| n²（n 乘 n） | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
看第二列：n = 2 时，两个都是 4。就是这一格害人。多少人从这里得出"2n 和 n² 一样"，然后在后面所有题里翻车。（顺便说：n = 0 时两个也都是 0，所以一共有两个巧合点，不是只有一个。）
往右看一列就分家了：n = 3 时，2n = 6，n² = 9。n = 4 时是 8 和 16。
两个式子的意思本来就不一样：2n 是"两条 n 拼起来"（n + n，一条线段拉成两倍长）；n² 是"n 行 n 列的方阵"——所以"平方"这个词，最早就是指一个正方形。n = 2 时两个恰好都是 4，纯属巧合。
还有一对也常混：2a + 3a 和 2a × 3a。
2a + 3a：2 个 a 加 3 个 a，一共 5 个 a，所以是 5a。这就是 0A 说的"同单位相加"——两个苹果加三个苹果等于五个苹果，只不过这里的"苹果"是 a。
2a × 3a：先把省掉的乘号全写回来，就是 2 × a × 3 × a。再用交换律和结合律重新排队：(2 × 3) × (a × a) = 6 × a² = 6a²。加法和乘法在这儿是两条完全不同的路：加法看"几堆"，乘法看"边长乘边长"。
| 怎么算 | 结果 | 生活里像什么 | |
|---|---|---|---|
| 2a + 3a | 2 堆 a 加 3 堆 a | 5a | 2 个苹果加 3 个苹果 |
| 2a × 3a | 2×3 得 6，a×a 得 a² | 6a² | 长 2a、宽 3a 的矩形面积 |
代入这一步最容易摔，两处坑现在一次说清：
| 题目 | ❌ 常见错解 | ✅ 正确解法 |
|---|---|---|
| a = 4、b = 3，求 2(a + b) | 2×4 + 3 = 11 括号被拆开了，只乘了 4 | 2×(4 + 3) = 2×7 = 14 |
| a = 4，求 a² | 4×2 = 8 把平方当成"乘 2"了 | 4×4 = 16 |
第二行那个错，跟上一节 2n 与 n² 是同一个病根：平方是"自己乘自己"，不是"乘 2"。看见右上角那个 2，先在心里念一遍"乘自己"。
字母除了省笔墨，还有一件更大的本事：它能当证明用。于是，这一章真正的高潮到了。
看这个命题：任何两个偶数相加，结果还是偶数。
你可以试：2 + 4 = 6，是偶数；8 + 12 = 20，是偶数；100 + 202 = 302，是偶数……试到明天早上，也还是"举例"。举例不是证明——你举一万个，也管不住第一万零一个。
换成字母，三行就够了。
证明：偶数 + 偶数 = 偶数
第一步 设用 2n 表示一个偶数（两个一堆，正好数完），用 2m 表示另一个偶数。n、m 都是非负整数。
为什么用两个字母？因为两个偶数不一定相等。用同一个字母，只能证明"一个偶数加它自己"，管不到 2+4 这种情形。两个字母可以碰巧代表同一个数，也可以代表不同的数——这正是"任意两个"的意思。
第二步 算2n + 2m = 2(n + m)。这一步用的是分配律反过来——把公因数 2 提到括号外。
第三步 认n + m 仍然是自然数，所以 2(n + m) 就是"2 乘一个整数"，也就是"两个一堆，正好数完"——偶数。证完。
这三行管住了多少？管住了全部偶数，一个不落。这就是字母的真本事：它不挑数，所以一次就覆盖所有数。
顺便立两个记号，往后天天用：
| 数 | 字母写法 | 怎么理解 |
|---|---|---|
| 偶数 | 2n | 两个一堆，正好数完 |
| 奇数 | 2n + 1 | 两个一堆，多出一个 |
n 取 1、2、3……时，2n + 1 依次给出 3、5、7……。注意 1 不在这串里——因为 1 = 2×0 + 1。要让 1 也出场，n 得从 0 开始数。所以严格地说：n 取非负整数时，2n + 1 给出全部正奇数。
偶数那边也有一个容易被漏掉的：n 取非负整数时，2n 能取到 0，而 0 也是偶数（0 = 2×0）。
再来一道，这是本章最漂亮的一题：三个连续自然数相加，结果一定是 3 的倍数。
设三个连续自然数写成 n、n + 1、n + 2。
算和 = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3。
提3n + 3 = 3(n + 1)。
认3 乘一个整数，当然是 3 的倍数。证完。
验一下手感：4 + 5 + 6 = 15 ✓；10 + 11 + 12 = 33 ✓；随便挑三个也行。但记住这个小区别：验证是用来防低级错的，证明才是用来管住全部的。
再换一道，你自己走一遍：两个奇数相加，结果是什么？
设奇数 = 2n + 1，另一个奇数 = 2m + 1。
算(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2。
提2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1)。
认2 乘一个整数 —— 偶数。所以：奇数 + 奇数 = 偶数。
拿数验一下：3 + 5 = 8 ✓；7 + 9 = 16 ✓。这回你还能解释清楚为什么：两个奇数各自"多出来的那个 1"，合在一起正好又凑成了一对。
顺手把四种组合都摆开，你会发现一张很整齐的表：
| + 偶数 | + 奇数 | |
|---|---|---|
| 偶数 | 偶数 | 奇数 |
| 奇数 | 奇数 | 偶数 |
这张表不用背——它就是"多出来的 1 有几个"在数：偶数有 0 个，奇数有 1 个，加起来是 0、1、2，其中 2 又能凑成一对，所以还是偶数。
现在可以回答开头那个问题了。为什么翻倍不变味，各加 2 却变了——而且是变甜？
因为味道只认糖和水之间那个倍数关系，不认糖和水各是多少。翻倍时两个数同时乘 2，倍数关系一动不动；各加 2 时，糖变成 4 份、水变成 7 份，倍数关系从 2:5 变成了 4:7——变了，所以味道变了。而 4:7 的比值（约 0.571）比 2:5 的比值（0.4）大，说明糖占得更重，所以是变甜。
更深一层的原因：加的是同一个数，可 2 加到 4 是翻倍、5 加到 7 只多了四成。小的那个被放大得更多，比就往小的那一边偏。
这一章里的每一条，说的都是同一件事：
所以这一章真正教你的，是一种看问题的姿势：先问"什么在变"，再问"什么没变"。往后学到函数、相似、方程，你会发现这个姿势好用到不像话——因为数学里几乎每一个有用的结论，说的都是"变来变去，有一样东西不变"。
不看这页，试着回答这四句：
① 为什么糖水翻倍不变味、各加 2 就变味？用"倍数关系"说一遍。
② 化简 12:18 和求 12:18 的比值，答案分别是什么？为什么不一样？
③ 正比和反比，各自"锁住"的是什么？怎么一秒判出来？
④ 不看材料，写出"偶数 + 偶数 = 偶数"的三步证明，并说出每一步用的是什么。
提醒一句：读着顺不算学会。这一章特别容易骗人——比、比例、字母，每个词你都觉得"我见过"。眼熟不等于会。判据只有一条：合上书，上面四句你自己讲得出来。
第一步，三十秒：把"我卡在哪一句"写下来。写不出，说明还没定位，不是不会——回到这一节开头那个问题，看它问的是什么。
第二步，两分钟：只回看跟那句相关的一段，不要重读整节。
第三步：还不行，看最近的一个完整例子，然后合上页面重做。不要停在"看懂了"。
要用 AI 时：先写出你自己的尝试（哪一步、用了什么道理），再让它只给提示或追问，不要它直接给答案；拿到提示后关掉，自己重做一遍。
| 规则 | 判决 | 一句话交代 |
|---|---|---|
| 比 = 除法 = 分数 | 原理 | 同一个倍数关系的三种记法，定义即如此。 |
| 比的前后项同乘同除不变 | 原理 | 换尺子：分子分母同乘，值不变（0A 约分的老朋友）。 |
| 同加同减一般会改变比 | 性质 | 同加同减保住了"差"，可比看的是"商"。而且加的是同一个数时，小的那个被放大得更多，所以比会朝 1 靠——3:3 这类前后相等的，是唯一不动的例外。 |
| 内项积 = 外项积 | 原理 | "比化分数 + 等式两边同乘"两步推出。 |
| 正比锁比值 / 反比锁乘积 | 原理 | "一起变"的两种基本结构，判据是哪个量不变。 |
| 字母 = 任何数的座位 | 原理 | 有限写无穷的结构功能。 |
| 省略乘号、1a = a、数字在前 | 约定 | 纯记法，为省笔墨，无道理可挖。 |
| 负数能不能坐进字母 | 欠条 | 1A 那一章负数登场时兑现。 |
| 方程的系统解法 | 欠条 | 单元 2 兑现；本章的"解比例"是它的前奏。 |
| 坐标系与图像（正比是直线、反比是曲线） | 欠条 | 单元 3 兑现。 |
卡在哪，就报哪：读完在任何一处卡住，发"0B ＋ 节号 ＋ 一句描述"（例："0B · 第三节 · 内项外项到底怎么记"）。卡点多的节会被优先重修。
再报一句：下面这五种说法，哪些你现在能自己讲出来，哪些还是背的？——讲不出的那几个，就是下一轮要修的地方。
① 为什么翻倍不变味 ② 化简比和求比值差在哪 ③ 内项积等于外项积是怎么推出来的 ④ 正比和反比各锁住什么 ⑤ 偶数加偶数为什么一定是偶数
依据：人教版六年级下册"比和比例"、七年级上册"整式的加减"（用字母表示数）、七年级下册"整式的乘法"（幂的运算前置）。真实数据：A4 纸 210 毫米 × 297 毫米，长宽比约 1.414（即 √2），沿长边对折得 A5（148.5 × 210），比例不变；地形图常用比例尺 1:50000；手冲咖啡常见粉水比约 1:15。v2 重写（2026-11-01）：谜题从"念目录"换成"糖水翻倍不变味、各加 2 就变味——什么在变、什么没变"；题库与背诵点移入导图页；补入五处真实锚点（A4 对折、咖啡粉水比、16:9 与 9:16、地形图 1:50000、白纸对折的形状不变）。旧版备份：_备份\v2重写前-20261101\。